Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1
वास्तविक संख्याएँ
Maths is a critical subject and scoring good marks in Maths can help students secure a good future. The Bihar Board Class 10 Maths Solutions provided by BSEBian.in are a complete study package that covers all the topics prescribed in the Bihar Board Class 10 Maths Syllabus. The solutions are written by expert Maths teachers and cover all the important topics in detail. Students can use these solutions to prepare for their exams and score high marks in Maths.
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1
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नमस्कार छात्रों और शिक्षकों। क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 1 का हल खोज रहे हैं? अगर हां तो आप सही जगह पर आए हैं। इस पृष्ठ पर, हमने आपको अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ के समाधान प्रस्तुत किए हैं। ये समाधान विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं और छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्याओं को आसान और प्रभावी तरीके से हल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
वास्तविक संख्याएँ
परिमेय, अपरिमेय, पूर्ण, पूर्णांक,प्रकृति संख्या के समूह को वास्तविक संख्या कहते है।
जैसे:-√3, 7, 3/5 इत्यादि।
- एल्गोरिथम अच्छी तरह से परिभाषित चरणो की एक श्रृंखला है , जो एक प्रकार की समस्या को हल करने के लिए प्रक्रिया प्रदान करती है।
- लेमा एक सिद्ध कथन है , जिसका उपयोग दूसरे कथन को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
यूक्लिड विभाजक प्रमेयिका :
दो घनात्मक पूर्णांक ‘a’ और ‘b’ के लिए संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याये ‘q’ व ‘r’ इस प्रकार है । a=bq + r ,0 < r < b
यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथम:
यह एल्गोरिथम HCF को गणना करने की एक तकनीक है । दो दिए गए सकारात्मक पूर्णांको में से इस एल्गोरिथम के अनुसार ,किन्ही दो सकारात्मक पूर्णांको a और b का HCF, a>b के साथ ,द्वारा प्राप्त किया जाता है।
नीचे दिए गए चरणो को पालन करते हुए:-
- चरण 1: युक्लिड की विभाजन प्रमेयिका को a और b पर लागू करे q और r को खोजने के लिए जैसे की a=bq+r , 0 < r < b
- चरण 2: यदि r=0 है, तो HCF b है । यदि r+0 है, तो b और r par ‘यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका’ लागू करे।
- चरण 3: प्रक्रिया को तब तक जारी रखे तब तक की शेष ‘0’ ना हो जाए । इस स्तर पर भाजक HCF, a और b होगा । साथ ही ध्यान दे की HCF (a,b)=HCF (b,r)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम केवल घनात्मक पूर्णांको के लिए कहा गया है,लेकिन इसे 0 को छोड़कर सभी पूर्णांको के लिए बढ़ाया जा सकता है अर्थात b , 0 के बराबर न हो।
वे संख्याये जो p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां q=0 ना हो और p ,q पूर्णांक हो ,वह परिमेय संख्या कहलाती है।
जैसे:-4/5, 1/6, 5/9, इत्यादि।
महत्वपूर्ण
- कोई भी वास्तविक संख्या जो p/q के रूप मे नही दर्शाया जा सकता है, वह अपरिमेय संख्या कहलाती है। जैसे:-√7, √5, π, इत्यादि।
- परिमेय और अपरिमेय संख्या मिल कर वास्तविक संख्या बनाती है। जैसे:- 5, 6, 10/7 , इत्यादि।
- दो लगातार संख्या के बीच परिमेय संख्या के तुलना में अपरिमेय संख्या अधिक होती है।
- शांत भिन्न वे भिन्न है जिसमे साधारण भाग देने पर शेषफल 0 हो। जैसे :- 8/2, 9/3, 10/5 इत्यादि।
- आवर्ती भिन्न वे भिन्न है जिसमे साधरण भाग देने पर शेषफल 0 कभी न हो। जैसे:- 1/3, 7/11, 9/21 इत्यादि।
अपरिमेय संख्या के गुण
- दो अपरिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल हमेशा अपरिमेय संख्या नही होता है।
- एक अपरिमेय संख्या का ऋणात्मक एक अपरिमेय संख्या ही होती है।
- एक परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय ही होता है।
- एक गैर शून्य परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का गुणनफल और भागफल हमेशा अपरिमेय संख्या ही
होता है।
- यदि p एक अभाज्य संख्या है और p, a² को विभाजित करता है ,तो p ,a को भी विभाजित करता है , जहां a एक घनात्मक पूर्णांक है।
- दि p एक अभाज्य संख्या है, तो √p एक अपरिमेय संख्या है।
- परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत,या तो अशांत प्रवृति का होता है।
- एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी , अनावर्ती का होता है।
- यदि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार समाप्त हो जाता है,तो हम संख्या को p/q के रूप में व्यक्त करते है। जहां p और q सह अभाज्या है और q काअभाज्य गुणनखंड। 2 ^n 5^m के रूप का है जहां n और m गैर ऋणात्मक पूर्णांक है।
- यदि X=p/q एक परिमेय संख्या है , जैसे की q का अभाज्य गुणनखंड 2^n 5^m के रूप का है , जहां n, और m गैर ऋणात्मक पूर्णांक है। तब X का दशमलव प्रसार शांत होता है।
- मान लीजिए की x=एक परिमेय संख्या है जैसे की q का अभाज्य गुणनखंड 2^n 5^m के रूप का नही है जहां n और m गैर ऋणात्मक पूर्णांक है तब x का दशमलव प्रसार अशांत आवृत्ति का होता है।
अंकगणित का मौलिक परिमेय : प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंड के गुणनफल के रूप मे व्यक्त किया जाता है।
जैसे:- 35 =7×5 , जहां की 7 और 5, अभाजय गुणनखंड 35 का है।
- दो संख्यायो का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड HCF संख्या में प्रत्येक उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात होती है।
- दो संख्यायो का लघुत्तम समावर्तक LCM संख्यायों में सामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधितकम घात का गुणनफल होता है।
- दो संख्यायो के HCF और LCM के बीच संबंध: यदि a और b दो संख्याए है तो HCF (a,b) × LCM (a,b)=a×b
तीन संख्यायो के HCF और LCM के बीच संबंध:
