Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11
रचनाएँ
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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11
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नमस्कार छात्रों और शिक्षकों। क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 11 का हल खोज रहे हैं? अगर हां तो आप सही जगह पर आए हैं। इस पृष्ठ पर, हमने आपको अध्याय 11: रचनाएँ के समाधान प्रस्तुत किए हैं। ये समाधान विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं और छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्याओं को आसान और प्रभावी तरीके से हल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
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जब भी गणित में किसी प्रमेय या सूत्र को सिद्ध करने के लिए रेखाचित्र बनाये जाते हैं और रेखाचित्रों के द्वारा प्रमेयों और सूत्रों को संतुष्ट किया जाय। ऐसे रेखाचित्रों को गणित में रचनायें कहा जाता है।
एक रेखाखंड को 1:1 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करते हैं :
- चरण 1: रेखा AB खींचिए। A और B को केंद्र मानकर और AB के आधे से अधिक के बराबर त्रिज्या लेकर, दो खींचिए चाप, AB के ऊपर और नीचे दोनों।
- चरण 2: एक रेखाखंड प्राप्त करने के लिए चाप के दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाएं जो AB को C पर समद्विभाजित करता है।
बिंदु C, AB को 1:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय को लागू करके एक रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित किया जा सकता है।
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय कहता है कि: यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाती है, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात m: n में आंतरिक रूप से विभाजित करने के लिए, जहाँ m और n दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं, B हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करते हैं :
- चरण 1: रूलर की सहायता से दी गई लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए।
- चरण 2: AB से न्यून कोण बनाती हुई कोई किरण AX खींचिए।
- चरण 3: Ax मार्क ऑफ (m+ n) के साथ, बिंदू A1, A2………Am, Am, Am+1,…….Am+n को इस प्रकार खींचे ताकि AA1 =A1A2 =Am+n-1 =Am+n
- चरण 4: B को Am+1
- चरण 5: बिंदु Am के माध्यम से, ZAA+Bat Am के बराबर कोण बनाकर AB के समानांतर एक रेखा खींचें, जो AB को बिंदु P पर काटती है।
इस प्रकार प्राप्त बिंदु P आवश्यक बिंदु है जो AB को आंतरिक रूप से m: n के अनुपात में विभाजित करता है।
तर्गसंगतता :
त्रिभूज ABAm+1 में हम देखते हैं कि AmP, Am+nB के समांतर है। इसलिए, मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा, हम पाते है कि,
इसलिए, P AB को m: n के अनुपात में विभाजित करता है।
किसी भी त्रिभुज को बनाए जाने वाले की भुजाओं का दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं से अनुपात स्केल फैक्टर के रूप में जाना जाता है। स्केल कारक 1 से कम या अधिक हो सकता है।
- यदि पैमाना गुणक 1 से कम है, तो नया अंक दिए गए चित्र की तुलना में छोटा होगा।
- यदि पैमाना गुणक 1 से अधिक है, तो नया अंक दिए गए चित्र की तुलना में बड़ा होगा।
दिए गए त्रिभुज के समान त्रिभुज का निर्माण :-
एक त्रिभुज ABC पर विचार करें। आइए हम A ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना करें, जिसकी प्रत्येक भुजा (m/n)th का संगत भुजाओं त्रिभुज ABC का हो।
निर्माण के कदम, जब m<n हो
- चरण 1: दिए गए डेटा का उपयोग करके दिए गए त्रिभुज ABC की रचना करें।
- चरण 2: दिए गए त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से किसी एक को आधार के रूप में लें। मान लीजिए AB दिए गए त्रिभुज का आधार है।
- चरण 3:आधार AB के एक सिरे पर, मान लीजिए A आधार है,AB के नीचे एक न्यूनकोण कोणBAX बनाएँ।
- चरण 4: AX के साथ-साथ n बिंदु A1, A2, A……….. An, ऐसे चिह्नित करें कि AA₁ =AA₂…….. =An-1An
- चरण 5: An को B से जोड़े।
- चरण 6: AnB के समांतर AmB’ खींचिए जो AB को B पर मिले।
- चरण 7: B से BC||BC खींचकर AC को C पर मिलाएँ।
त्रिभुज “ABC” प्राप्त त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा (m/n)th ,त्रिभुज ABC की संगत भुजा का है।
तर्गसंगतता : –
AmB’ समानांतर AnB इसलिए
वृत्त पर एक बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा का निर्माण :-
एक वृत्त के किसी बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा का निर्माण, जब उसका केंद्र ज्ञात हो
बिंदु P पर वृत्त की स्पर्श रेखा बनाने के चरण इस प्रकार हैं:-
- चरण 1: OP से जुड़ें।
- चरण 2: बिंदु P पर OP के लंबवत एक रेखा AB खींचिए।
P पर APB अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
वृत्त के किसी बिंदु पर वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना, जब उसका केंद्र ज्ञात नहीं है वृत्त पर P पर स्पर्श रेखा खींचने में शामिल चरण इस प्रकार हैं :
- चरण 1: मान लीजिए कि AB और AC वृत्त की दो जीवाएँ हैं।
- चरण 2: AB और AC के लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए वे बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (O वृत्त का केंद्र होगा)
- चरण 3: OP से जुड़ें।
- चरण 4: बिंदु P पर OP के लम्बवत् एक रेखा XY खींचिए।
XPY, P पर अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
वृत्त के बाहर एक बिंदु से एक वृत्त के लिए त्रिभुज का निर्माण :-
एक वृत्त के बाहर किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा का निर्माण, जब इसका केंद्र ज्ञात हो
निर्माण के चरण इस प्रकार हैं:
- चरण 1: वृत्त के केंद्र O को बिंदु P से मिलाएँ।
- चरण 2: OP का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो OP को Q पर काटता है
- चरण 3: Q को केंद्र मानकर और OQ त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त का व्यास OP है।
- चरण 4: मान लीजिए कि यह वृत्त पहले वृत्त को दो बिंदुओं T और T पर प्रतिच्छेद करता है। PT और PT को मिलाइए।
PT और P T बिंदु P से दिए गए वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
तर्गसंगतता :-
OT को OT’ में जोड़े,
यह देखा जा सकता है कि कोण PTO अर्धवृत्त में एक कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है
कोण PTO = 90° ⇒ OT लंबरूप PT
चूँकि OT वृत्त की त्रिज्या है, PT को वृत्त की स्पर्श रेखा होना चाहिए। इसी प्रकार, PT की एक स्पर्शरेखा है
वृत्त के बाहर किसी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा का निर्माण, जब इसका केंद्र ज्ञात हो :-
P से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना के चरण इस प्रकार हैं :
- चरण 1: P से होकर एक छेदक PAB खींचिए जो वृत्त को A और B पर मिले।
- चरण 2: AP को C में इस प्रकार बढ़ाइए कि PC, PA, CB को Q पर समद्विभाजित करें।
- चरण 3: CB को व्यास मान कर और केंद्र को Q मान कर, एक अर्धवृत्त बनाएं
- चरण 4: बिंदु D पर अर्द्धवृत्त को काटते हुए PD CB बनाएं।
- चरण 5: पास केंद्र और PD को त्रिज्या मानकर, वृत्त को T पर काटने के लिए एक चाप बनाएं और चरण 6: PT और PT’ को मिलाएँ।
PT और PT’ वृत्त की आवश्यक स्पर्श रेखाएँ हैं।