सांख्यिकी गणित की वह शाखा है जिसमें आँकड़ों का संग्रहण, प्रदर्शन, वर्गीकरण और उसके गुणों का आकलन का अध्ययन किया जाता है। सांख्यिकी एक गणितीय विज्ञान है जिसमें किसी वस्तु/अवयव/तंत्र/समुदाय से सम्बन्धित आकड़ों का संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या या स्पष्टीकरण और प्रस्तुति की जाती है

• समांतर माध्य, जिसे औसत भी कहा जाता है, सभी प्रेक्षणों को जोड़कर प्राप्त की गई मात्रा है और फिर प्रेक्षणों की कुल संख्या से भाग देना।
• अंकगणितीय माध्य की गणना निम्न विधियों में से किसी एक द्वारा की जा सकती है :
  • प्रत्यक्ष विधि
  • शॉर्ट-कट विधि / कल्पित माध्य विधि
  • चरण-विचलन विधि

प्रत्यक्ष विधि :-यदि एक चर X मान लेता है X1, X2, X3, Xn इसी आवृत्तियों के साथ क्रमशः f₁, f2, f3…. fn। तो इन मूल्यों का अंकगणितीय माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

शॉर्ट-कट विधि / कल्पित माध्य विधि :- मान लीजिए कि x1, X2……..xn संगत बारंबारताओं f वाले चर X के मान हैं। । F1,F2…..Fn क्रमशः है। A कल्पित माध्य हो,
di = (Xi,-A). तब :-

यहाँ, अवर्गीकृत आवृत्ति के मामले में, उसे आम तौर पर विचलन के h को सामान्य कारक के रूप में लिया जाता है,
वितरण और, समूहीकृत बारंबारता बंटन के मामले में, उसकी वर्ग चौड़ाई, Ui=

ध्यान दें कि निरंतर आवृत्ति वितरण के मामले में, x1, X2,X3…. …Xn के मान विभिन्न वर्गों के मध्य-बिंदु या वर्ग-चिह्न के रूप में लिए जाते हैं।

यदि इस प्रकार प्राप्त वर्ग अंक दशमलव रूप में हैं, तो गणना के लिए चरण विचलन विधि को प्राथमिकता दी जाती है

मध्यिका :- मध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है जो क्रम में व्यवस्थित डेटा में मध्य अवलोकन का मान देता है। यह वह मान है कि इसके ऊपर के प्रेक्षणों की संख्या इसके नीचे के प्रेक्षणों की संख्या के बराबर है।

किसी अपरिष्कृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए आँकड़ों को बढ़ते या घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं।
यदि n विषम है, तो माध्यिका का मान होगा, [(n+1)/2]th अवलोकन
यदि n सम है, तो माध्यिका,=[ n/2] th, [(n/2)+1]th के प्रेक्षणों के मानों का अंकगणितीय माध्य है।

संचयी बारंबारता :- किसी वर्ग की संचयी बारंबारता उस वर्ग की बारंबारता में दिए गए वर्ग से पहले के सभी वर्गों की बारंबारता को जोड़कर प्राप्त की गई बारंबारता होता है।

अवर्गीकृत बारंबारता बंटन की स्थिति में, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करके माध्यिका की गणना करते हैं

• चरण 1: संचयी आवृत्तियों (c.f.) का पता लगाएं N=Σf1
• चरण 2: N/2 को प्राप्त करें
• चरण 3:संचयी बारंबारता (c. f.), (N/2)से ठीक अधिक देखें
• चर का संबंधित निर्धारित करें,
  इस प्रकार प्राप्त मूल्य माध्यिका है ।

सतत आवृत्ति वितरण के मामले में, हम नीचे दिए गए चरणों का पालन करके माध्यिका की गणना करते हैं :

• चरण 1: संचयी आवृत्तियों (c.f.) का पता लगाएं और N=Σf1प्राप्त करें
• चरण 2: N/2 को प्राप्त करे
• चरण 3:संचयी बारंबारता (c.f.),(N/2) से ठीक अधिक देखें और वर्ग का संगत निर्धारित करें ।इस वर्ग को माध्यिका वर्ग कहते हैं। (ध्यान दें कि माध्यिका का मान इसमें निहित होगा)
• चरण 4: माध्यक ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र का उपयोग करें:
  
  यहाँ, /= माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
  f= माध्यिका वर्ग की आवृत्ति
  h=चौड़ाई (आकार)माध्यिका वर्ग की
  cf=माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
  N =Σf1

बहुलक आँकड़ों में सबसे अधिक बार आने वाले प्रेक्षण का मान है।

• एक अवर्गीकृत बारंबारता बंटन में, बहुलक अधिकतम बारंबारता वाले चर का मान होता है।
  एक समूहीकृत आवृत्ति वितरण में, बहुलक की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है:
  
  जहां, l=मोडल क्लास की निचली सीमा
  h = वर्ग अंतराल का आकार
  f1= बहुलक वर्ग की बारंबारता
  f0= मोडल वर्ग से पहले वर्ग की आवृत्ति
  f2 = मोडल क्लास के बाद वाले वर्ग की आवृत्ति
• केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला माप माध्य है, क्योंकि माध्य की गणना की जाती है किसी दिए गए डेटा के सभी अवलोकनों को ध्यान में रखते हुए। और यह डेटा के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्य के बीच स्थित है।
• जब केन्द्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप समान हों तो बंटन सममित कहलाता है
• जब माध्य, माध्यिका और बहुलक के मान समान नहीं होते हैं, तब बंटन कहलाता है असममित या तिरछा। इस मामले में, वितरण सकारात्मक रूप से तिरछा या नकारात्मक रूप से हो सकता है
• नकारात्मक रूप से विषम वितरणों में कुछ बेहद कम अंक होते हैं, जबकि सकारात्मक रूप से विषम वितरण होते हैं

जब डेटा नकारात्मक रूप से तिरछा होता है, तो माध्य <मध्यिका <मोड
जब सकारात्मक रूप से तिरछा होता है, तब माध्य > माध्यिका > मोड

• केंद्रीय मूल्यों के तीन माप निम्नलिखित संबंध से जुड़े हैं:
  3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य
• संचयी आवृत्ति एक विशेष बिंदु तक संचित या आवृत्तियों का योग है। दिए गए बक्से में संचयी बारंबारताओं को दर्शाना संचयी बारंबारता बंटन कहलाता है।
• एक संचयी बारंबारता बंटन को एक तोरण के माध्यम से रेखांकन द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

तोरण दो प्रकार के होते हैं:

1. तोरण से कम : तोरण से कम में एक वर्ग की ऊपरी सीमा तोरण पर एक बिंदु के रूप में इसकी संचयी आवृत्ति के विरुद्ध अंकित की जाती है। ‘ऑजाइव से कम’ एक उभरता हुआ वक्र है।
2. तोरण से अधिक : तोरण’ ‘से अधिक में एक वर्ग की निचली सीमा को तोरण पर एक बिंदु के रूप में इसकी संचयी आवृत्ति के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है। ‘तोरण से अधिक’ एक गिरता हुआ वक्र है।

note: तोरण तभी खींचा जा सकता है जब दिए गए वर्ग अंतराल निरंतर हों और यदि ऐसा नहीं है, वर्ग अंतराले को सतत बनाया जाता है।

तोरण से कम या तोरण से अधिक का माध्यिका ज्ञात करने के लिए हम नीचे दिए गए चरणों का अनुसरण करते है:-

• चरण 1: प्रश्न में पूछे गए अनुसार ओजाइव से अधिक या उससे कम ड्रा करें। ज्ञात कीजिए, जहाँ N प्रेक्षणों की कुल संख्या है।
• चरण 2: y-अक्ष पर संचयी आवृत्ति का पता लगाएँ।
• चरण 3: चरण 2 में प्राप्त बिंदु से होकर x-अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचिए, जो संचयी बारंबारता वक्र को बिंदु P (माना) पर काटती है।
• चरण 4: P से x-अक्ष पर लंब PM बनाएँ। बिंदु M का x-निर्देशांक माध्यिका मान है।

.यदि हम एक ही ग्राफ पर से कम तोरण और अधिक तोरण बनाते हैं, तो नीचे दिए गए चरणों का पालन करके माध्यिका प्राप्त की जा सकती है:

• चरण 1: एक ही ग्राफ पर दोनों तोरण खींचिए।
• चरण 2: दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु की पहचान करें और इसे Q (माना) के रूप में चिह्नित करें।
• चरण 3: Q से x-अक्ष पर लंब खींचिए।
• चरण 4: x-अक्ष पर लंब का बिंदु माध्यिका है।