Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3
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नमस्कार छात्रों और शिक्षकों। क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 3 का हल खोज रहे हैं? अगर हां तो आप सही जगह पर आए हैं। इस पृष्ठ पर, हमने आपको अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के समाधान प्रस्तुत किए हैं। ये समाधान विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं और छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्याओं को आसान और प्रभावी तरीके से हल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
Table of Contents
Toggleदो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
ax + by + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, जैसे कि a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों में एक रैखिक समीकरण कहलाता है।
समान दो चर x और y वाले दो रैखिक समीकरण दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म कहलाते हैं।
दो चरों में रैखिक समीकरणों के युग्म का सामान्य रूप है :
जहां a₁, a₂, b, b₂ c₁₂ वास्तविक संख्याएं हैं, जैसे कि a₁² b,² (a₂²+b₂²) के बराबर नही है।
- दो चरों में एक रैखिक समीकरण को एक सीधी रेखा द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जाता है।
- दो चरों ax + by + c = 0 में एक रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल, समीकरण को निरूपित करने वाली रेखा पर एक बिंदु के अनुरूप और इसके विपरीत होता है।
- दो चरों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली एक तल में दो रेखाओं का प्रतिनिधित्व करती है। एक तल में दी गई दो रेखाओं के लिए तीन संभावित स्थितियाँ हो सकती हैं:
- दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
- दो रेखाएँ समानांतर हैं, अर्थात्, वे कितनी भी दूर तक फैली हुई हों, वे एक दूसरे को नहीं काटती हैं।
- दो रेखाएँ संपाती रेखाएँ हैं, अर्थात एक रेखा दूसरी रेखा को ओवरलैप करती है।
महत्वपूर्ण
- युगपत रैखिक समीकरणों के निकाय को संगत कहा जाता है, यदि इसका कम से कम एक हल हो।
- युगपत रैखिक समीकरणों के निकाय को असंगत कहा जाता है, यदि उसका कोई हल न हो।
- यदि रेखाएँ किसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो वह बिंदु समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल देता है। इस स्थिति में समीकरणों के निकाय को संगत कहा जाता है।
- यदि रेखाएँ संपाती (ओवरलैप) होती हैं, तो समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे। व्यवस्था समीकरणों के आश्रित और सुसंगत कहा जाता है।
- यदि रेखाएँ समांतर हैं, तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है। इस मामले में समीकरणों की जोड़ी असंगत बताया गया है।
दो चरों में रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी का प्रतिनिधित्व करने वाली रेखाओं का व्यवहार और समाधान के अस्तित्व को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:-
बीजगणितीय और आलेखीय विधियों का उपयोग करके समीकरणों के निकाय को हल किया जा सकता है।
दो चरों में रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी को हल करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली बीजगणितीय विधियाँ हैं –
- प्रतिस्थापन विधि
- विलोपन विधि
- क्रॉस-गुणन विधि
A. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए, दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए निम्नलिखित हैं:-
- चरण 1: एक चर का मान व्यक्त करें, मान लीजिए y दूसरे चर के संदर्भ में, किसी भी समीकरण से x, जो भी सुविधाजनक हो।
- चरण 2: y के मान को अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें और इसे एक चर के समीकरण में घटाएं, अर्थात x के संदर्भ में। तीन संभावनाएं होंगी:
- यदि घटा हुआ समीकरण x में रैखिक है, तो एक अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के लिए इसे x के लिए हल करें।
- यदि घटा हुआ समीकरण x के बिना एक सत्य कथन है, तो सिस्टम में अनंत समाधान है
- यदि घटा हुआ समीकरण x के बिना एक असत्य कथन है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
- चरण 3: y का मान प्राप्त करने के लिए चरण 2 में प्राप्त x के मान को चरण 1 में प्रयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करें
- चरण 4: इस प्रकार प्राप्त x और y के मान समीकरणों के निकाय के हल के निर्देशांक हैं।
प्रतिस्थापन विधि: हम प्रतिस्थापन की विधि को कुछ उदाहरणलेकर समझाएंगे।
उदाहरण :- समीकरणों के निम्नलिखित युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
7x-15y = 2 (1)
x + 2y = 3। (2)
हल:-
चरण 1: हम समीकरणों में से किसी एक को चुनते हैं और एक चर को दूसरे के संदर्भ में लिखते हैं। आइए हम समीकरण (2) पर विचार करें:
x+2y=3
x=3-2y
और इसे इस रूप में लिखें कि दो चरों में रैखिक समीकरणों का युग्म
चरण 2: समीकरण (1) में x का मान प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं –
7(3 – 2y)-15y=2
21-14y-15y=2
अर्थात, -29y=-19
इसलिए, y =19/29
चरण 3:- y का यह मान समीकरण (3) में रखने पर,
x=3-2(19/29)=49/29
x=49/29, y=19/29
B. विलोपन विधि द्वारा दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए अपनाए गए चरण:
- चरण 1: का गुणांक बनाने के लिए दोनों समीकरणों को कुछ उपयुक्त गैर-शून्य अचरों से गुणा करें
- चरण 2: चर को समाप्त करने के लिए दोनों समीकरणों को जोड़ें या घटाएं जिनके गुणांक समान हैं।
- यदि एक चर y (या x) में एक समीकरण प्राप्त होता है, तो इसे चर y (या x) के लिए हल करें।
- यदि एक सत्य कथन जिसमें कोई चर शामिल नहीं है, प्राप्त होता है तो सिस्टम में अनंत समाधान होते हैं।
- यदि कोई गलत कथन जिसमें कोई चर शामिल नहीं है, तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
- चरण 3: अन्य चर का मान प्राप्त करने के लिए किसी भी समीकरण में चर y (या x) का मान प्रतिस्थापित करें।
उदाहरण : – निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के सभी संभावित हल ज्ञात करने के लिए विलोपन विधि का उपयोग करें:
2x+3y=8 (1)
4x + 6y = 7 ( 2)
हल:-
चरण 1: समीकरण बनाने के लिए समीकरण (1) को 2 से और समीकरण (2) को 1 से गुणा करें x बराबर के गुणांक लाने के लिए। तब हम समीकरण प्राप्त करते हैं :
4x + 6y = 16 (3)
4x+ 6y = 7 (4)
चरण 2: समीकरण (4) को समीकरण (3) से घटाने पर,
(4x-4x)+(6y-6y) = 16-7
अर्थात, 0 = 9, जो एक असत्य कथन है।
इसलिए, समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
C. क्रॉस गुणन विधि द्वारा दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए अपनाए गए चरण :
- चरण 1: समीकरणों को सामान्य रूप में लिखें।
ax+by+c=0
a₂x+by+c₂ =0 - चरण 2: इन्हें निम्न तरीके से व्यवस्थित करें
यहाँ, दो संख्याओं (गुणांकों) के बीच के तीरों का अर्थ है कि उन्हें गुणा करना है और दूसरे गुणनफल को पहले गुणनफल से घटाना है।
- चरण 3: क्रॉस गुणा करें:
i. (1) और (3) की तुलना करने पर, हमें x का मान प्राप्त होता है
ii. (2) और (3) की तुलना करने पर हमें y का मान प्राप्त होता है
उपरोक्त समीकरणों से, x और y का मान प्राप्त करें, जो की
a1b2 – a2b1 ≠ 0.
महत्वपूर्ण
- ऐसे समीकरण जो रैखिक नहीं होते हैं, लेकिन कुछ उपयुक्त प्रतिस्थापनों द्वारा रैखिक रूप में घटाए जा सकते हैं, रैखिक रूप में परिवर्तित होने वाले समीकरण कहलाते हैं।
- घटा हुआ समीकरण रैखिक समीकरण को हल करने की किसी भी बीजगणितीय विधि (प्रतिस्थापन, विलोपन या क्रॉस गुणन) द्वारा हल किया जा सकता है।
- समय, दूरी और गति पर आधारित समस्याओं को हल करते समय; निम्नलिखित ज्ञान उपयोगी हो सकता है:
यदि शांत जल में नाव की गति = u किमी/घंटा
धारा की गति = v किमी/घंटा धारा
तब,
प्रतिकूल गति = (u-v) किमी/घंटा धारा
अनुकूल गति = (u + v) किमी/घंटा