Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4
द्विघात समीकरण
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Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4
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नमस्कार छात्रों और शिक्षकों। क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 4 का हल खोज रहे हैं? अगर हां तो आप सही जगह पर आए हैं। इस पृष्ठ पर, हमने आपको अध्याय 4: द्विघात समीकरण के समाधान प्रस्तुत किए हैं। ये समाधान विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं और छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्याओं को आसान और प्रभावी तरीके से हल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
द्विघात समीकरण
यदि p(x) एक द्विघात बहुपद है, तो p(x) = 0 एक द्विघात समीकरण कहलाता है। चर x में एक द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax + bx+c=0 है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a = 0 ना हो।
- x का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है, समीकरण का हल कहलाता है। एक वास्तविक संख्या α को द्विघात समीकरण ax+bx+c-0 का हल/जड़ कहा जाता है यदि aα+bα+c= 0 हो।
- एक द्विघात समीकरण में अधिक से अधिक दो शून्य होते हैं।
- एक द्विघात समीकरण को निम्नलिखित बीजगणितीय विधियों द्वारा हल किया जा सकता है:
- गुणनखंड विधी
- पूर्ण वर्ग बनाने की विधि
- द्विघात सूत्र
i. गुणनखंडन विधि
गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण का हल,
माना की द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 है। मान लीजिए (ax² + bx + c) दो रैखिक व्यंजकों, (px + q) और (rx+s) के गुणनफल के रूप में अभिव्यक्त होता है, जहाँ p, q, r, s वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि p और r = 0 ना हो।
तब,
ax²+bx+c =0 ,(px+q)(rx+s)=0
,(px + q)=0 या (rx +s)=0
,x=-q/p या x= s/r
उदाहरण:- (i)(x+4)(2x-3)=0
हल,
(x+4)(2x-3)=0
(x+4)=0 या (2x-3)=0
⇒x=-4 या x=3/2
अतः, -4 और 3/2 समीकरण के मूल
ii. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि
पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण को हल करने में शामिल चरण इस प्रकार हैं:-
चरण 1: x² एकता का गुणांक बनाएं।
चरण 2: x के गुणांक को 2 × x × p के रूप में व्यक्त करें।
चरण 3: p का वर्ग जोड़ें और घटाएँ।
चरण 4: आवश्यक रूप में द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए वर्ग पहचान (a + b)² या (a – b)² का उपयोग करें
(x+a)²-b²=0। फिर, अचर पद को समीकरण के दूसरी ओर ले जाएँ।
चरण 5: दिए गए द्विघात समीकरण के मूल प्राप्त करने के लिए प्राप्त समीकरण का वर्गमूल लें।
उदाहरण:- पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण 5x² – 6x – 2 =0 के मूल हल कीजिए
हल:- दिए गए समीकरण को 5 से गुना करने पर हम पाते है। 25x² – 30x – 10 =0
यह निम्न के तुल्य है।
iii. द्विघात सूत्र
द्विघात समीकरण के मूलों की गणना द्विघात सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (a=0 ना हो।)के मूल इस प्रकार दिए गए हैं:
उदाहरण:- माना की भूखंड की चौड़ाई (x) मीटर है, और लंबाई (2x +1) मीटर है। हमे दिया है की x(2x + 1)= 528, अर्थात्, 2x² + x – 528 =0 हैं।
यह ax² +bx + c = 0 का प्रकार का है जहां a=2, b=1, c= -528 है
अतः द्विघाती सूत्र से निम्न हल मिलते है
यदि b²-4ac <0 तो समीकरण के वास्तविक मूल नहीं हैं।
द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघात सूत्र कहते हैं।
महत्वपूर्ण
- समीकरण ax + bx + c = 0, a =0 ना हो। तब व्यंजक b²-4ac को विभेदक के रूप में जाना जाता है
- द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति:
- यदि b²-4ac > 0, द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
- यदि b²-4ac=0, द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं।
- यदि b²-4ac<0, द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
- ऐसे कई समीकरण हैं जो द्विघात रूप में नहीं होंगे, लेकिन सरलीकरण द्वारा द्विघात रूप में कम किए जा सकते हैं।
