Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5
समांतर श्रेढ़ियाँ
Maths is a critical subject and scoring good marks in Maths can help students secure a good future. The Bihar Board Class 10 Maths Solutions provided by BSEBian.in are a complete study package that covers all the topics prescribed in the Bihar Board Class 10 Maths Syllabus. The solutions are written by expert Maths teachers and cover all the important topics in detail. Students can use these solutions to prepare for their exams and score high marks in Maths.
Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5
Hello Students and Teachers. Are you searching for the Solutions of Bihar Board Class 10 Maths Chapter 5? If yes then you have come to the right place. On this page, we have presented you with the Solutions of Chapter 5: समांतर श्रेढ़ियाँ. These solutions have been prepared by experts and are designed to help students understand the concepts and solve the problems in an easy and effective way
नमस्कार छात्रों और शिक्षकों। क्या आप बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 5 का हल खोज रहे हैं? अगर हां तो आप सही जगह पर आए हैं। इस पृष्ठ पर, हमने आपको अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ के समाधान प्रस्तुत किए हैं। ये समाधान विशेषज्ञों द्वारा तैयार किए गए हैं और छात्रों को अवधारणाओं को समझने और समस्याओं को आसान और प्रभावी तरीके से हल करने में मदद करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
समांतर श्रेढ़ियाँ
समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक सूची है जिसमें प्रत्येक पद एक निश्चित संख्या को अपने पद से जोड़कर प्राप्त किया जाता है ,( पहले पद को छोड़कर)
- किसी समांतर श्रेढ़ी का सामान्य रूप a, a+ d, a+ 2d, a+3d… होता है।
- एक क्रम में आने वाली विभिन्न संख्याएँ इसके पद कहलाते हैं।
- हम एक अनुक्रम की शर्तों को निरूपित करते है।
a1, a2, a3,… आदि or X1, X2, X3… आदि। यहाँ, सबस्क्रिप्ट शब्दों की स्थिति को दर्शाते हैं। सामान्य रूप में, nवें स्थान पर स्थित संख्या को अनुक्रम का nवाँ पद कहा जाता है और इसे a, से निरूपित किया जाता है। nवें पद को अनुक्रम का व्यापक पद भी कहा जाता है। - पदों की परिमित संख्या वाले अनुक्रम को परिमित अनुक्रम कहा जाता है।
- एक अनुक्रम जिसका कोई अंतिम पद नहीं है और जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होता है, अनंत अनुक्रम के रूप में जाना जाता है
- अनुक्रम की प्रत्येक संख्या अंकगणितीय श्रेढ़ी का पद कहलाती है। कोई निश्चित संख्या जिसमें उत्तरोत्तर पद भिन्न होते हैं, सार्व अंतर कहलाता है। यह सार्व अंतर धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या या शून्य भी हो सकता है।
- संख्याओं की सूची a₁, a2,a3…… एक A.P है, यदि अंतर a2 – a₁, a3- a2, a4- a3… समान मान देते हैं, यानी (ak+1a- ak) ,सभी अलग-अलग k के मानों के लिए समान है।
- यदि A.P a, a+d, a+ 2d……r को (r, r – d, r- 2d……a) में बदल दिया जाता है, तो सामान्य अंतर मूल अनुक्रम के सामान्य अंतर के नकारात्मक में बदल जाता है।
- एक अंकगणितीय प्रगति जिसमें परिमित संख्या का हमेशा एक अंतिम पद होता है। होती है, उसे परिमित अंकगणितीय प्रगति कहते है
- एक अंकगणितीय श्रेढ़ी जिसका कोई अंतिम पद नहीं है और जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होती है, उसे अनंत अंकगणितीय प्रगति कहते है।
note: एल्गोरिदम कि अनुक्रम एक A.P.है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए, हमे नीचे अनुक्रम की सामान्य अवधि के लिए एक बीजगणितीय सूत्र दिया है :
- चरण 1: पहले an प्राप्त करें
- चरण 2: n को (n+1) से a में बदलें, तब an+1 प्राप्त होता है।
- चरण 3: a(n +1)- an की गणना करें
- चरण 4: a(n +1)- an का मान जांचें। अगर a(n +1)- an ,nसे स्वतंत्र है, तो दिया गया अनुक्रम एक A.P है। अन्यथा, यह एक A.P नहीं है।
किसी A.P. का सामान्य रूप होता है : an =a +(n-1)d, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है।
कभी-कभी हमें समांतर श्रेणी में पदों की निश्चित संख्या की आवश्यकता होती है। पदों के चयन के निम्नलिखित तरीके आमतौर पर बहुत सुविधाजनक होते हैं।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पदों की विषम संख्या के मामले में, मध्य पद a है ,और सामान्य अंतर d है, जबकि पदों की एक सम संख्या के मामले में मध्य पद(a-d),(a + d) हैं और सामान्य अंतर 2d है।
- यदि तीन संख्याएँ a, b, c (क्रमानुसार) समान्तर श्रेणी में हैं, तो,
b- a = सार्व अंतर = c – b
b-a = c-b
2b = a+ c
इस प्रकार a, b, c, A.P. में हैं, अगर और केवल अगर 2 b = a + c हो,इस स्थिति में, b को a और c का समान्तर माध्य कहा जाता है। - अंत से n पद ज्ञात करने के लिए, हम इस A.P. को पीछे की ओर इस प्रकार लेते हैं कि अंतिम पद , पहला पद बन जाए,
r, r – d ,r – 2d……
इस A.P. का सामान्य पद a = r+ (n-1)(-d) हो जाता है। - प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = [n(n+1)]/2
किसी समांतर श्रेणी के n पदों का योग होता है ,
जहाँ a पहला पद है, d सार्व अंतर है और n पदों की कुल संख्या है।
किसी समांतर श्रेढ़ी के n पदों का योग निम्नलिखित द्वारा भी दिया जाता है:-
किसी समांतर श्रेढ़ी का n” पद , पहला n- 1 पद योगफल और उसके पहले (n-1) पदों के योग का अंतर होता है।
अर्थात, an =sn- sn-1